Besselpotentiale Gerader Ordnung Und quivalente Lipschitzr ume. Operatorenkalk l Von Approximationsverfahren Fastperiodischer Funktionen - Forschungsberichte Des Landes Nordrhein-Westfalen / Fachgrup

Walter Trebels

Die Raume L~ der Besselpotentiale sind von einer Vielzahl von Autoren untersucht und benutzt worden, die sich z. B. mit Vervoilstandigungen (ARONSZAJN-SMITH [2]), mit stetigen Einbettungen in Besov-und Sobolevraume (ARONSZAJN-MuLLA-SZEPTYCKI [1]), mit Differenzierbarkeitsaussagen (CALDERON [11]), mit Lipschitzraumen (TAIBLESON [23]) u. a. beschaftigen. Ais unmittelbaren Ausgangspunkt dieser Abhandlung* kann man die Arbeiten von GORLICH [13], [14] ansehen, die eine Weiterentwicklung der mehrdimensionalen Satu­ rationstheorie darsteIlen, die auf BUTZER-NESSEL [7] und NESSEL [17] im FaIle 1 ~ P ~ 2 zuriickgeht. In [13], [14] wird bewiesen, daB die Raume L~ die Favardklassen ge­ wisser n-dimensionaler, radialer Approximationsverfahren, wie z. B. die Bochner-Riesz­ Mittel und das veraIlgemeinerte WeierstraBverfahren, kennzeichnen. Diese Klassen wurden in WHEEDEN [25] und TREBELS [24] durch gewisse hypersingulare Integrale charakterisiert, die man als Rieszableitungen interpretieren kann. In der eindimensionalen Theorie hat BUTZER [4], [5] (IX = 2) Charakterisierungen der Favardklassen mittels Lipschitzbedingungen abgeleitet. In der mehrdimensionalen Theorie sind jedoch entsprechende Aussagen nur fiir 1 < p < 00 bekannt (vgl. [13]); im Faile p = 1 sind diese Bedingungen zwar hinreichend, jedoch ist ihre Notwendigkeit nicht bewiesen. Unser Zugang schwiicht die letzteren Ergebnisse so ab, daB er einerseits fiir alle p­ Werte, 1 ~ P ~ 00, aquivalente Aussagen liefert und daB sich aus ihm andererseits im FaIle 1 < p < 00 mittels eines Multiplikatorensatzes von Marcinkiewicz-Mikhlin (vgl. [16; p. 232]) die bekannten Resultate wiedergewinnen lassen. Uberdies gelangen wir zu einer Erweiterung des Laplaceoperators im klassischen Rahmen.

Kommentar

56 pages, black & white illustrations